Dane o rozprawie doktorskiej

Rodzaj pracy	Rozprawa doktorska
Data uzyskania stopnia	09-05-2007
Uzyskany stopień naukowy	Doktor nauk matematycznych
Promotor	Dr hab. prof. UZ Aleksander Grytczuk, Uniwersytet Zielonogórski, Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Recenzenci	Prof. dr hab. Andrzej Rotkiewicz, Instytut Matematyczny, Polska Akademia Nauk Dr hab. prof. UAM Kazimierz Wiertelak, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydział Matematyki i Informatyki
Jednostka prowadząca przewód	Uniwersytet Zielonogórski, Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Miejsce pracy autora rozprawy	Uniwersytet Zielonogórski, Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii
Dziedzina naukowa	Nauki matematyczne
Dyscyplina naukowa	Matematyka
Specjalność naukowa	Teoria liczb
Sposób zgłoszenia rozprawy, dostępność, liczba stron	nie ogłoszono, Biblioteka Główna Uniwersytetu Zielonogórskiego, zbc.uz.zgora.pl, s. 50
Wydawca
Słowa kluczowe	Funkcja Eulera; funkcja sumy dzielników; liczby doskonale nieparzyste; uogólnione liczby Fermata; funkcje arytmetyczne

Streszczenie

Pierwsze zagadnienie rozprawy to problem Sierpińskiego. W 1959 roku Sierpiński zapytał czy istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych m takich, że m . Browkin i Schinzel udowodnili, że żadna z liczb ( , nie jest postaci . W ten sposób udzielili pozytywnej odpowiedzi na pytanie postawione przez Sierpińskiego. W rozprawie podajemy kryterium na to, aby ciąg był ciągiem Sierpińskiego. Dowodzimy też pewne interesujące własności ciągu Sierpińskiego. Drugie zagadnienie dotyczy dolnych oszacowań funkcji sumy dzielników. Dowód jednego z oszacowań opiera sie na nierówności Minkowskiego, drugie natomiast jest ściśle związane z Hipotezą Riemanna, a dokładniej z interesującym kryterium podanym przez Robina w 1984 roku. Następnie badamy liczby doskonale nieparzyste. Używając kryterium Grytczuka dla liczb Eulera otrzymujemy pewne oszacowania liczb doskonałych nieparzystych. Czwarte zagadnienie dotyczy dolnych oszacowań największego pierwszego dzielnika uogólnionej liczby Fermata. W ostatniej części rozprawy podajemy uogólniona formułę, która służy do wyznaczania gęstości pewnej klasy ideałów całkowitych z półgrupy , generowanej przez funkcje arytmetyczne.

Abstact

The first issue of this PhD thesis is a Sierpiński’s problem. In 1959 Sierpiński asked whether there exist infinitely many natural numbers m such that m . Browkin i Schinzel proved that all numbers ( , can not be presented in the form . It is a positive answer to the question posed by Sierpiński. We obtain a criterion for the sequence to be the Sierpiński sequence. We prove some interesting properties of the Sierpiński sequence. The second issue concerns lower bounds for the sum divisor function. The proof one of estimations is based on a special version of the Minkowski inequality, the second estimation is strictly connected with the Riemann Hypothesis, exactly with very interesting criterion given by Robin in 1984. Next we study odd perfect numbers. Using Grytczuk's criterion for the Euler numbers we obtain some bounds for odd perfect numbers. The fourth issue concerns lower bounds for the greatest prime divisor of the generalized Fermat number. In the last part of this PhD thesis we prove a general formula for determination the density of some of classes integer ideals in the semigroup , generated by arithmetical functions.